Ecuaciones irracionales

¿Qué son las ecuaciones irracionales?

Las ecuaciones irracionales son aquellas que contienen raíces en las que la variable aparece dentro del signo radical, como una raíz cuadrada, cúbica, etc.

Forma general

$\Huge \sqrt[n]{\displaystyle f(x) } = g(x)$

donde $f(x)$ y $g(x)$ son expresiones algebraicas, y $n$ es el índice de la raíz.

Ejemplos

$\Large \sqrt{x + 3} = 5$

$\Large \sqrt{2x - 1} = x - 2$

$\Large \sqrt[3]{x + 1} = 2$

Características importantes

• Puede haber restricciones en el dominio, especialmente si el índice es par (para evitar raíces de números negativos).
• Para resolverlas se suele elevar ambos lados a una potencia que elimine la raíz.
• Es fundamental verificar las soluciones, porque al elevar al cuadrado o a otra potencia pueden surgir soluciones extraviadas o falsas.

Pasos para resolverlas

1. Determinar el dominio, para conocer los valores permitidos.
2. Aislar la raíz si es posible.
3. Elevar ambos lados a la potencia adecuada.
4. Resolver la ecuación resultante.
5. Comprobar las soluciones en la ecuación original.

Ejercicios

Ejercicio 1

$\Large \sqrt{x + 3} = 5$

$\Large \sqrt{2x - 1} = x - 2$

$\Large \sqrt[3]{x + 1} = 2$

Ejercicio 2

Resuelve estas ecuaciones con un radical.

$\Large \sqrt{x + 3} +1 = x -8$

$\Large x + 4 + 5 \sqrt{x - 2} = 0$

Ejercicio 3

Resuelve estas ecuaciones con dos radicales.

$\Large \sqrt{7x +1} = 2 \sqrt{x +4}$

$\Large \sqrt{5x + 1} - \sqrt{x + 1} = 2$

$\Large 2 \sqrt{x - 1} - 5 = \frac{3}{\sqrt{x - 1}}$