Ecuaciones racionales

¿Qué son las ecuaciones racionales?

Las ecuaciones racionales son ecuaciones que incluyen fracciones algebraicas, es decir, expresiones donde el numerador, el denominador o ambos son polinomios.

Forma general

Una ecuación racional tiene la forma:

$\Large \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}$

donde $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$, y $S(x)$ son polinomios.

Ejemplos

$\Large \frac{3x}{4x - 1} = 2$

$\Large \frac{x-2}{x+3} = \frac{x+1}{x-1}$

Características importantes

• Se deben identificar valores prohibidos, es decir, aquellos que anulan el denominador, porque en esos casos la expresión no está definida.
• Se suelen resolver eliminando los denominadores mediante el mínimo común denominador (MCD).
• Es necesario verificar las soluciones obtenidas, ya que algunas pueden no ser válidas si convierten algún denominador en cero.

Pasos básicos para resolverlas

1. Determinar restricciones (valores que anulan el denominador).
2. Multiplicar ambos lados por el MCD para eliminar fracciones.
3. Resolver la ecuación resultante como una ecuación polinómica.
4. Verificar las soluciones en la ecuación original.

Ejercicios

Ejercicio 1

Resuelve estas ecuaciones racionales:

$\Large \frac{3x}{4x - 1} = 2$

$\Large \frac{x-2}{x+3} = \frac{x+1}{x-1}$

$\Large \frac{4+x}{2x+1} = \frac{x-2}{5-2x}$

$\Large \frac{-4x+8}{x^2-9} = \frac{5x+1}{x+3}$

Ejercicio 2

Resuelve estas ecuaciones racionales:

$\Large \frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 2}{x + 2} = 2$

$\Large \frac{x + 3}{x - 1} = 2$

$\Large x + \frac{4x}{x - 2} = 12$

Ejercicio 3

Resuelve estas ecuaciones racionales:

$\Large \frac{x-3}{x^2 - 4} + \frac{x}{x - 2} = 3$

$\Large \frac{x+1}{x-3} = 5 - \frac{x+9}{x +2}$

$\Large x + \frac{4x}{x-4} = \frac{16}{x-4}$

$\Large \frac{3x+2}{9-x^2} = \frac{5x+1}{x+3} - \frac{1}{3-x}$